Informatyka UJ forum

kg86

za niecale 2 tygodnie poprawka z anala... a ja nie mam pojecia na czym polega indukowanie topologii przez metryki :( moglby ktos to jakos zrozumiale wyjasnic? :)
Bylbym rowniez wdzieczny gdybys ktos umiescil dowod tego twierdzenia:

rownowaznosc metryk [czyli te, co indukuja ta sama topologie] jest rownowazna warunkowi:
[dla kazdego] r>0 [dla kazdego] x e X [istnieje] r1, r2 > 0 : Kd1(x,r) > Kd2(x,r1) > Kd1(x,r2)

legenda:
Kd1, Kd2 - Kula w metryce d1, d2
[kula1] > [kula2] - kula1 zawiera sie w kula2
e - nalezy do

nie wiem czy to Gasinski udowadnial na wykladzie, nie bylo mnie na tym...
z gory dzieki za pomoc :)

Skrobocik

A to na poprawce nie mają być jakieś normalne zadanka :?: : całeczki, pochodne, granice, zbieżności i ciągłości :O :?:
Ja nie chcę żadnych twierdzeń, ani dowodów :evil:

Ethlinn

Nie wiem, czy o to Ci chodzi, ale spróbuje wyjaśnić to po swojemu ^^, a przynajmniej jak ja to rozumiem (jakbym pisała jakieś herezje to mnie poprawiajcie ^^).

[jeszcze mala legenda: e- nalzey, C- zawiera sie, Td - topologia indukowana przez metryke, Ai - A z indeksem i... reszta powinna byc jasna]

Zatem mamy jakąś przestrzeń metryczna (X, d). Jak mamy metrykę to mamy i kule. W kulach leza wszystkie punkty których odległość od środka jest mniejsza niż promień ( K(x0, r) = {x e X: d(x0, x) < r} ).

Teraz bierzemy definicje zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej. Jeżeli każdy punkt leżący w danym zbiorze (nazwijmy go A) jest taki, ze istnieje jakaś kula o środku w tym właśnie punkcie i ta kula zawarta jest w całości w zbiorze A (czyli żaden punkt należący do tej kuli nie może leżeć poza zbiorem A) to zbiór ten jest otwarty. Czyli w pewnym sensie zbiory otwarte to takie, gdzie nie da się określić, który punkt jest „graniczny”.

No i dochodzimy teraz do topologii indukowanej przez metrykę. W wykładach jest: „Rodzina wszystkich zbiorów otwartych w X stanowi topologię w X. Nazywamy ją topologią indukowaną przez metrykę d i oznaczamy Td.” Czyli wszystkie zbiory, które spełniają warunek otwartości, czyli, ze każdemu punktowi danego zbioru jesteśmy w stanie przypisac kule (czy jak pisal Gasinski: każdy punkt zbioru „siedzi” w A wraz z pewna kula, której jest srodkiem), tworzą rodzinę. A ta rodzina jest topologią. Czyli:

1. zbior pusty należy do Td (z definicji)
X e Td (X zawiera wszystkie swoje kule)
2. x należy do iloczynu zbiorow należących do Td wtedy i tylko wtedy, gdy lezy w każdym z tych zbiorów. Zatem w każdym z tych zbiorów dany punkt „siedzi” wraz z pewna kula, której jest srodkiem. Czyli dla każdego zbioru istnieje takie r, ze K(x0, r) C A. Wystarczy wiec wziąć najmniejszy z promieni (co jest równoznaczne temu, ze kula o najmniejszym promieniu zawarta jest we wszystkich innych większych kulach). I teraz widzimy, ze każdy punkt iloczynu zbiorow ma swoja kule (jest to kula o najmniejszym promieniu). Zatem iloczyn tez należy do Td.
3. Co z suma? Wezmy dowolne x lezace w sumie zbiorow. Jeśli x lezy w sumie to istnieje pewien zbiór, w którym ten x leży. Czyli istnieje takie i e I, ze x e Ai (gdzie Ai należy do topologii). Z tego wynika, ze istnieje takie r > 0, ze K(x, r) C Ai (w koncu Ai jest w topologii, zatem jest otwartym zbiorem). Skoro wiec dany punkt siedzi w Ai z kula, to ten punkt siedzi również z ta sama kula w sumie zbiorow.

Zatem widać, ze jest to topologia. Nie wiem, czy wyjaśnione jest to dostatecznie jasno i czy o takie tłumaczenie chodziło. Inaczej nie umiem ^^. W sumie i tak wszystko jest tak jak w wykładzie.

Co do dowodu równoważności metryk, to niestety moje notatki z wykładu zostaly w Krakowie :/.

szuwarek

Ethlinn nawet jezeli bym chcail zrozumiec i tak by mi sie nie chcialo chyba tego czytac :]

Ethlinn

szuwarek

dobre checi sie licza ;D

Pestka · pijak Dołączył: 22 Mar 2006 Posty: 79 Przeczytał: 0 tematów

Skrobocik

Zadam jeszcze raz to pytanko: Czy mają być dowody na kolokwium :?:
(oby nie)

r4ku

o ile dobrze pamietam, to na kolosie zaliczeniowym, tym w czerwcu, nie bylo dowodow tylko w miare proste zadanka. Ale jak teraz bedzie to chyba nawet starozytni rosjanie nie wiedza...

kg86

mam nadzieje, ze nie bedzie dowodow na kolokwium, ale pytalem sie o dowod tego twierdzenia, poniewaz samo twierdzenie jest dla mnie tak nie intuicyjne, ze nie moglem obczaic na czym to indukowanie topologii moze polegac...
dzieki Ethlinn :) a mozesz jeszcze dac jakis przyklad? :D tzn. jakas metryke, oraz topologie jaka indukuje i wyjasnic dlaczego taka a nie inna? :D postawie Ci piwo, nawet dwa :D

@Pestka - po lewej stronie jest: rownowaznosc metryk jest rownowazna warunkowi (...) :)
i masz racje, zrobilem blad w legendzie, powinno byc [Kula1] > [Kula2] - Kula2 zawiera sie w Kula1 :)
jest to (3) podpunkt twierdzenia 2.11 z wykladow :)

a tak btw. ma ktos jakis skrypt dotyczacy liczenia granic dwoch zmiennych? W Krysickim i Wlodarskim tego nie ma, a te kilka przykladow z cwiczen wiele mi nie mowia...
a moze komus sie chce wypisac metody? :D

Ethlinn

@kg86: Sprobuje wiec cos wymyslic, ale nie twierdze, ze jest to poprawne. Przyklad biore z glowy, wiec prosze o podejscie do tego z dystansem :). Proponuje najprostsza metryke euklidesowa (w kazdym razie najbardziej intuicyjna). Czyli kula jest normalnym okregiem. Teraz wyobrazmy sobie zbior otwarty... w szkole zaznaczalibysmy to sobie jako jakis obszar ograniczony przerywana linia, prawda? Zastanowmy sie wiec, czy pasuje to do naszej definicji zbioru otwartego. Zatem zbior otwarty to taki zbior w ktorym kazdy punkt siedzi z kula. Wiadomo, ze obszar w srodku zbioru siedzi z kulami, mozna to sobie latwo narysowac. Jedynie problem moze pojawic sie na brzegu, czyli punkty tuz przy linii. Wiemy, ze to co do tej przerywanej linii nalezy nie jest juz w zbiorze. Punkty jakby zmierzaja do owej "granicy". Ale wiemy, ze jest ich tyle ile liczb rzeczywistych (heh... nie ma to jak WDM :P). Zatem jesli wezmiemy jakis punkcik to zawsze uda nam sie znalezc jakis ktory bedzie jeszczez blizej tej granicy... i teraz jesli wezmiemy rodzine takich wlasnie zbiorow to spokojnie mozemy powiedziec, ze to topologia. Cala przestrzen R^2 nalezy, pusty nalezy, Suma i iloczyn tez okej- to bardzo intuicyjne, ale wystarczy to sobie rozrysowac lub wyobrazic. Mam nadzieje, ze przyklad jest okej :).

A co do ewentualnego piwa, to ja moze podziekuje [dobrze wiesz, ze piwa nie pijam! :P] W kazdym razie am nadzieje, ze cos pomoglam i za bardzo nie namieszalam. :)

Pestka · pijak Dołączył: 22 Mar 2006 Posty: 79 Przeczytał: 0 tematów

Inny przykład: weźmy metrykę dyskretną (tzn. d(x,x)=0 oraz (x,y)=1 dla x!=y ) Ona indukuje topologię, w której wszystkie zbiory są otwarte - jaki byś sobie zbiór nie wymyślił to będzie otwarty - no bo z każdym punktem da się związać jakąś kulę zawartą w tym zbiorze (wystarczy wziąć promień <1 - taka kula jest wtedy poprostu singletonem :) ). To zdaje się nazywa się topologia banalna :)

Z twierdzeniem nadal mam problem, bo nie chodziłam na analize do dra Gasińskiego więc nie posiadam jego wykładów :)

Jesli chodzi o granice fcji wielu zmiennych to zdaje się że są w drugiej części podręcznika :) A jeśli chodzi o metody liczenia - nie jestem ekspertem (w ogóle to taki niemiły temat ;) ), ale można próbować np. tak:

1) Jeśli chcemy pokazać, że granica nie istnieje (co jest z reguły dużo łatwiejsze niż pokazanie że istnieje i jaka niestety) to staramy się wskazać przynajmniej dwa podciągi, które mają różne granice - albo jeden niezbieżny, np:
(x^2-y^2)/(x^2+y^2) przy(x,y)->(0,0)
badamy dla ciągu (1/n, 1/n) przy n->nieskończoności (albo jak ktoś woli na prostej x=y)
wówczas nasza funkcja ma postać 0/(2/n^2) i w oczycisty sposób granicą takiego ciągu jest 0.
natomiast np. dla ciągu (0,1/n) (albo na prostej x=0) dostajemy równanie
(-1/n^2) / (1/n^2) co daje nam granicę -1 .
-1 != 0 zatem nasza funkcja nie ma granicy w (0,0)

1a) jeśli ciężko nam badać funkcję zadaną we współrzędnych kartezjańskich, możemy spróbować zameinić je na współrzędne biegunowe(tzn współrzędne biegunowe stosujemy jeżeli mamy liczyć granicę w (0,0) - inaczej trzebaby było użyć współrzędnych biegunowych przesuniętych o odpowiedni wektor). Wówczas będziemy sprawdzali, czy granice są takie same na wszystkich okręgach o środku w punkcie w którym szukamy granicy, tzn czy dla dowolnego kąta alfa i dla dowolnie wybranego promienia r granice wszystkich ciągów są takie same (czyli tak jak w punkcie 1) aby pokazać ze granica nie istnieje szukamy odpowiedniego przykładu, tylko tym razem dla pary (alfa, r), gdzie r->0)
W tym przypadku czasami łatwo pokazać że ciąg jest zbieżny, gdzyż alfa często występuje przy funkcjach sin i cos które są ograniczone i pomnożone przez dążącą do zera funkcję zależną od r dają granicę 0.

2) można próbować oszacować granicę albo jej moduł, np:
f(x,y)=(x^2*y)/(x^2+y^2).liczymy granicę przy (x,y)->(0,0)
mamy:
0<= |f(x,y)| = |x^2*y |/|x^2+y^2|<=(|x^2|*|y|)/|x^2|{zmniejszyliśmy mianownik, bo y^2>=0 zawsze} =|y|->0 {bo y->0}
zatem z tw o trzech ciągach dostajemy, że |f|->0 <=> f->0.

3)... zgadnąć??

Mam nadzieję że da się z tego coś zrozumieć... :)