Informatyka UJ forum

Fidel

[link widoczny dla zalogowanych]
taki maly program do rysowania 2d i 3d

hansu

Ten program jest.... genialny :] Polecam, naprawde, szkoda tylko ze na kolosie go nie mozna miec :]

Rogal

Można prosić o jakiś rozsądny algorytm liczenia ekstremów funkcji?

Ja doszedłem do tego, że:
1. Liczymy pochodne pierwszego stopnia i one się muszę wszystkie zerować. W ten sposób z układu równań dostajemy jakieś punkty podejrzane o to, że są ekstremami (tj. punkty w których wszystkie pochodne cząstkowe są równe 0)
2. Liczymy pochodne drugiego stopnia i dostajemy z nich macierz KxK, gdzie K to ilość zmiennych we wzorze funkcji (za zwyczaj to będzie macierz 2x2 albo 3x3).
3. Dla każdego z punktów znalezionych w pkt. 1 liczymy wartość macierzy znalezionej w pkt. 2 i spradzamy czy jest ona dodatnio, ujemnie, niedodatnio, nieujemnie określona (lub czy jest nieokreślona). Jeśli macierz jest określona dodatnio to w tym punkcie jest minimum, jeśli jest określona ujemnie to jest maksimum.

I teraz problemem jest to, że po pierwsze nie mam pojęcia jak w praktyce sprawdzić, czy macierz jest jakoś tam określona (dodatnio, ujemnie, niedodatnio itp.) a po drugie co dalej można zrobić jeśli okaże się że jest określona np. nieujemnie lub jak jest nieokreślona? I jak się to ma do ekstremów słabych i mocnych, tj. kiedy dostajemy jedno a kiedy drugie ekstremum?

Fidel

jak masz te macierz np:
| x1 y1 z1 |
| x2 y2 z2 |
| x3 y3 z3 |

i chcesz sprawdzic jej okreslonosc to liczysz minory glowne (chyba tak to sie nazywa) czyli kolejne minory skladajace sie ze spojnych kwadratow na przekatnej.

pierwszy to bedzie
|x1|
drugi
|x1 y1|
|x2 y2|
trzeci cala macierz

i teraz jesli minory parzyste nie sa >= 0 to nieistnieje ekstremum. jesli sa >0 to sprawdzasz minory nieparzyste, jesli wszystkie sa dodatnie to masz macierz dodatnio okreslona jesli sa ujemne to jest ujemnie okreslona.

jesli sa rozne to takze nie istnieje ekstremum. a jesli sa 0 to wtedy trzeba liczyc macierz rozniczki wyzszych stopni i robic to samo. ale tego nigdy nie robilem wiec nie wiem czy tam sie cos nie komplikuje

Rogal

Ok, to jeszcze jedno (zakładam, że nie będę liczył macierzy większej niż 3x3, więc mam zawsze 1 minor parzysty):

1. Co się dzieje gdy minor parzysty jest równy 0?
2. Co się dzieje, gdy minor parzysty > 0, a z minorów nieparzystych pierwszy jest > 0, a drugi = 0?

Czy wtedy też trzebaby liczyć różniczki wyższych rzędów?

Fidel

krzycho

Pytanko do zadania 8.4 d) (x^3 + y^3 =x^2 + y^2)

Czy jest jakis algorytm(metoda) wyznaczania granic całki , bez rysowania w glowie wykresu funkcji?

kap00ch

narysuj go na kartce... ;]

Madras

W wykładzie 4 jest taki przykład liczenia ekstremum warunkowego funkcji przy użyciu lambdy. Pytanie brzmi: po czym poznajemy, czy to jest maksimum, czy minimum?

Tylko nie mówcie, że rysujemy sobie w głowie/na kartce wykres i sprawdzamy ;p.

Fidel

Madras

Aha ok dzięki.

SZCZUR

ile to jest :

calka ( cos a ) ^ 5 da = ???

( i z kad to sie bierze )

dzendras

(cosa)^2 * (cosa)^2 * cosa = (1-sina)^2 * (1-sina)^2 * cosa

robismy podstawienie t=sina
dt = cosa

i mamy:

(1-t^2) * (1-t^2) dt

Skąd się to bierze? :lol:

Rozwiązanie by ZenonZ :wink:

Spectro

kg86

@SZCZUR - (cos a)^5 = (1 - (sin a)^2)^2 * cos a :) teraz pod sin a podstawiasz t :) a dt = cos a :)
w zadaniu 6.4 pojawilo sie takie pytanie:
czy z polokreslonosci (slabej okreslonosci) drugiej rozniczki, oraz z niezerowania sie trzeciej rozniczki, mozna wywnioskowac cos o istnieniu ekstremum? moglby sie ktos na ten temat rozpisac? :D

exeman

A ja mam pytanie, czy rozumie ktos z was rozwiazanie z wazniaka:
[link widoczny dla zalogowanych]
ĆWICZENIE 12.7, co oni tam robia?

Co oznacza tamto oznaczenie SLIMAK_D ? (slimak jak przy pochodnych czastkowych)
Co oni tam w ogole robia? :P Podstawiaja z greena, a potem jakies kombinacje, bede wdzieczny jak ktos opisze np. w punktach po kolei co oni tam ogolnie robia i jaka
jest metoda na takie zadania.

A i jeszcze jedno, o ktorej i gdzie mamy kolosa :D

r4ku

hansu

Kolos jest w auli na kampusie o 8:00

Co do zadania 12.7 - korzystamy w nim ze wzoru greena:

(K jest krzywa ograniczajaca obrzar D)

W naszym zadaniu ten wzor ma postac:

Ten SLIMAK_D to jest wlasnie krzywa ograniczajaca obszar D. No wiec korzystamy z tego wzoru Greena i obliczamy ile wynosi calka krzywoliniowa po calym obszarze ograniczajacym D. Ale pytanie w tresci jest tylko o ten odcinek paraboli. Tak wiec dzielimy SLIMAK_D na dwie czesci - szukana czesc wzdluz paraboli i druga zdluz odcinka, ktory nazwany jest tam T. Obliczamy calke krzywoliniowa po tym wlasnie odcinku T, po SLIMAK_D mamy obliczone z podwojnej, wiec odejmujemy to i dostajemy wynik :)

Fidel

o 8? spectro znowu sie bedzie budzil godzine :P

Makros

12.7 sie bardzo ladnie uprasza jeśli zauważymy ze całka ta nie zależy od drogi całkowania...
Wtedy to sobie mozemy policzyc krzywoliniowa po odcinku laczacym punkty (-1,0) i (1,0)... :D

exeman

Thx, a jeszcze jedno pytanie
Jak interpretowac (geometrycznie) całkę podwójną oraz jak potrójną?

Bede wdzieczny za odpowiedzi do zadan 8.1 oraz 8.2 od Gasinskiego.

hansu

Calka podwojna z funkcji z(x,y) okrelonej na obszarze D to nic innego jak objetosc bryly wyznaczonej pomiedzy tym obszarem D a wykresem funkcji z. Immymi slowy jest to to samo co calka pojedyncza - tam bylo pole pod wykresem funkcji, a tu jest objetosc pod wykresem. Natomiast calka potrojna to to samo, tylko ze w 4 wymiarach - dziedzina ma 3 wymiary, wartosci funkcji ida w czwarty, no i to jest taka jakby hiper-objetosc tego :]

Co do odpowiedzi - nie mam, nigdy nie chcialo mi sie liczyc tego do konca :P Jak skoncze extrema i zostanie troche czasu to policze te wszystkie gowna i tu powrzucam. Chociaz mysle ze prosciej dorwac kogos kto ma Fichtenholtza lub Demidowicza i niech po prostu odpisze odpowiedzi :]

Robson

@Exe:
Podwojna to jest SS(d)f(x,y)dxdy to jest objetosc pod wykresem funkcji f nad obszarem d.
Potrojna to jakby to samo tylko w 4-D... w krysickim byla interpretacja fizyczna:
jesli d jest ciałem w 3-D a f(x,y,z) wyraza gestosc ciała w punkcie x,y,z to SSS(d)F9x,y,z)dxdydz wyraza mase tego ciała...

A teraz moje pytanie:
Czy my w całce krzywoliniowej 2 rodzaju (tej do liczenia obszaru) mozemy sobie tak bezkarnie wpiepszyc jakikolwiek zakres parametryzacji patrzac tylko na to zeby sie konczyła ta krzywa tam gdzie sie ma konczyc? Znaczy czy nie interesuje nas to ze krzywa zakreca jak jej pasuje? Bo w całce riemana musielismy uwazac zeby nam nie wyszła funkcja wieloznaczna , np jak liczylismy pole elipsy, a tu wyglada mi na to ze mozemy sobie teraz po całej elipsie przejechac i tak wyjdzie to co miało wyjsc... (w sumie to by bylo logiczne zeby tak bylo, bo inaczej do czego by sie te całki krzywoliniowe przydawały...)

hansu

@Robson: Zauwaz ze wieloznacznosc tej przykladowej elipsy wynika z tego ze dla jednego argumentu funkcja ma dwie wartosci (<- to zdanie jest herezja, ale mam nadzieje ze wiecie o co mi chodzi ;)) Tymczasem parametryzacja (jesli jest dobrze dobrana ofkoz ;)) gwarantuje nam jednoznacznosc tego, tj. dla kazdego t z interesujacego nas przedzialu istnieje odkladnie jedna wartosc x(t) i y(t) - i to nam pozwala olac wszelkie dublowania i liczyc jak nam wygodnie :] Tak mi sie przynajmniej wydaje :P

Robson

Oki starczy :)

To zdanie nie jest tak wielką herezją jak Ci sie wydaje ;)