Informatyka UJ forum

AMD · pijak Dołączył: 05 Mar 2006 Posty: 161 Przeczytał: 0 tematów

a można jakiś konkretny przykład dotyczący tego zbioru wektorów

Rogal

Dobra, więc tak. Baza to takie wektory z których możesz uzyskać wszystkie pozostałe odpowiednio je dodając / mnożąc razy element z ciała.

Czyli np. chcesz mieć przestrzeń R^2. I jej bazą mogą być np. wektory { (1,0) , (0,1) } - bo z tych dwóch wektorów możesz uzyskać każdy inny z przestrzeni R^2. Np. wektor (5,3) = 5*(1,0) + 3*(0,1), a wektor (-4,14) = -4*(1,0) + 14*(0,1)

Ta ostatnia baza to baza kanoniczna, czyli złozona z takich wektorów, że każdy ma jedną jedynkę i reszta zera. Ale baza może być też niekanoniczna, np dla R^2 bazą mogą być też wektory (1,2) i (0,3) - za ich pomocą też możesz uzyskać każdy inny wektor z R^2 ale ponieważ jest to sporo trudniejsze (wymaga obliczeń) niż dla bazy kanonicznej to w praktyce dążymy do tego, żeby operować na jak najprostszych bazach.

h

Source: no niestety, to jest algebra, nie łopatoznastwo, taki mały szczególik zmienia postać rzeczy (;
beware!

Robson

Mam pytanie: czy aby sprawdzic czy macierz A jest ortogonalna wystarczy sprawdzic czy A*A = I ?? Bo tak mi wynika z notatek.. ale te nie sa zbyt jednoznaczne...

kap00ch

wystarczy zeby wyznacznik macierzy byl rowny 1 lub -1 ;]

Pawel Str.

@kap00ch - NIE.

Po pierwsze ustalmy fakty. Są używane dwa terminy - ortogonalny i ortonormalny. Na wyższych wykładach są tożsame, na algebrze nie pamiętam.

Do badania ortonormalności trzeba sprawdzić, czy A^T A = I, do ortogonalności, o ile wyróżniamy to pojęcie, trzeba sprawdzić, czy A^T A jest diagonalne (przy czym na diagonali nie mogą być zera).

Bez względu na definicję wyznacznik równy +-1 nie wystarcza.
bo np macierz diag(2, 0.5) ma wyznacznik 1, a jest tylko ortogonalna, ortonormalna nie jest.

Dla porządku definicje:

Ortonormalna (czasami zwana ortogonalną) = kolumny macierzy są wektorami takimi, że (vi|vj)=0, (vi|vi)=1 //o ile i<>j

Ortogonalna (o ile wyróżniamy to pojęcie) - tylko tyle, że (vi|vj)=0 dla i!=j oraz żaden z vi nie jest wektorem zerowym.

Rogal

Zgodnie z tym co mamy w wykładach wystarczy / trzeba sprawdzić czy A* A = I (A transponowane razy A jest równe macierzy jednostkowej). Nie wiem czy każda macierz o wyznaczniku +-1 będzie to spełniać, ale chyba nie.

kap00ch

no ale wg wykladu wynika ze warunek ortogonalnosci spelnia wlasnie macierz o wyznaczniku +-1 :/ z ortonormalnoscia to jest nieco inaczej bo jedyne co mi do glowy przychodzi to sprawdzanie war. na delte kroneckera...

AMD · pijak Dołączył: 05 Mar 2006 Posty: 161 Przeczytał: 0 tematów

Ja mam 4 pytania
1)co to oznacza że macierz jest podobna(co o tym decyduje)
2)co oznacza w zadaniu 3 z tego przykładowego egzminu(tego prostszego)
S=~m
3) co znaczy E(z tego co wiem to to jest macierz jednostkowa)ale co to ma do zadania 9 w tescie przykładowym.jak tam czegoś takiego uzyć?
4)dlaczego w zadaniu 9 odpowiedz c jest poprawna?

trywialna

Czy jak nam wychodzi ze macierz ma jedna potrojna wartosc wlasna to na tescie (jezeli nie jest sprecyzowane) mamy zaznaczyc ze ma jedna wartosc czy trzy?

kap00ch

no wg. wynikow przykladowego i ludzkiego rozumu zaznaczamy ze ma jedna wartosc wlasna, gdyz z def. wartosci wlasne sa rozwiazaniami rownania charakterystycznego macierzy...a jesli sie nie myle to jesli nawet roziwazanie jest n-krotne to dalej jest to jedno rozwiazanie ;]

Rogal

@AMD:
1. Jeśli macierze są kwadratwe, tego samego rozmiaru, mają ten sam wyznacznik i ten sam ślad (ślad macierzy to suma elementów na głównej przekątnej) to najprawdopodobniej są podobne :wink: Tj. nie znalazłem twierdzenia, że te warunki wystarczają, ale na pewno MUSZĄ być spełnione i patrząc na test przykładowy to wystarcza. Bo zakładam, że definicję podobieństwa znasz, ale nie wiem jak to z definicji liczyć (o ile się da).

2. To oznacza że relacja S jest równa relacji ~m, tzn. aSb <=> a~mb

3. W tym przypadku E3 oznacza zbiór pierwiastków 3-go stopnia z liczby 1

4. W zadaniu 9. z testu przykładowego (o pierwiastkach z -27) odpowiedź c nie jest poprawna.

kap00ch

1. ja bym jeszcze dorzucil ze maja te same wartosci i wektory wlasne...

Pawel Str.

@Kap00ch - jeżeli macie, że ortogonalne to A^T A =I, to znaczy, że ortogonalne=ortonormalne.
Ale powtarzam, det = +/- 1 absolutnie nie daje ortogonalności.

Weź sobie to diag(2,0.5) - wyznacznik masz 1, a A^T=A; A^T A= diag(4,0.25). Raczej to nie jest jedynka.

Najszybsza metoda, dla małych macierzy, to właśnie transponować macierz i zobaczyć, czy jest odwrotną do danej.

kap00ch

@Pawel Str. - nie podejme polemiki bo nie sie znam i daje wiare temu co mowisz ;] z tego co doczytalem |A|=+-1 jest jedynie wlasnoscia macierzy ortogonalnych...i glupio przyjalem to za wkw gdyz wszystkie przyklady jakie robilem akurat sie zgodzily :P

AMD · pijak Dołączył: 05 Mar 2006 Posty: 161 Przeczytał: 0 tematów

dzieki Rogal
mam tylko jescze pytanie dotyczace zadań
12 i 13 z zeskanowanego testu.Jak sie coś takiego robi

a i jescze dlaczego({2k:keZ},+)jest grupa cykliczna

kap00ch

wzgledem 13 to mamy watpliwosci tak jak wzgledem zagadnienia macierzy podobnych...ogolem rzad macierzy powinien byc ten sam oraz wyznacznik powinien byc ten sam...

co do 12 to wystarczy se podstawic wartosci zadanej bazy do formy i sprawdzic czy mamy delte kroneckera..jesli tak to dana forma jest baza dualna.

AMD · pijak Dołączył: 05 Mar 2006 Posty: 161 Przeczytał: 0 tematów

Rogal

AMD: w 12. sprawdzasz które z tych macierzy są podobne do zadanej

kap00ch

@AMD- sora walnelo mi sie o jedna cyferke oczywscie mowiac o 12 mialem na mysli 11 a mowiac o 13 chodzilo o 12 :]

co do 13 gdzies to wytlumaczylem...o tu : na koncu http://matinfuj.fora.pl/viewtopic.php?t=725&start=25

exeman

czy macierz
[1 1] mozna zdiagonalizowac?
[1 1]

kap00ch

@exeman - da sie ;]

exeman

Kap00ch: jakim cudem, jak to sprawdziles? Czyz warunkiem nie jest "posiadanie dokladnie tylu roznych wartosci wlasnych co wymiar?"

Rogal

Nie jest to warunkiem o zacny Exemanie. Po prostu dla każdej wartości własnej generowany przez nią podzbiór wektorów własnych musi mieć wymiar równy krotności tej wartości własnej.

kap00ch

@exeman - czytaj to co ja pisze...juz 3 raz podaje link do innego topicu...http://matinfuj.fora.pl/viewtopic.php?t=725&start=25 sam dol...